Без бокала нет вокала Двухсотпятидесятишестиричная система счисления. Нет вокала без бокала

Непонятные bin, oct, dec, hex и их соседи, или про то, что как не пиши какое-то число, количество яблок не изменится.

(Уже для второго класса)

На главную.

Про всякие "позиционные", "непозиционные" и "частично позиционные" системы счисления Вы узнаете в старших классах. Сейчас же нам нужно разобраться с тем, как люди научились записывать разными цифрами и даже буквами (знаками) одно и то же количество яблок.

Для начала, давайте разберёмся, а собственно, зачем нам нужно одно и тоже количество записывать разными способами?

На самом деле всё просто - современный компьютер понимает только 2 числа - ноль и единицу, поэтому для полноценной работы с ним мы тоже должны понимать числа так, как это делает компьютер; к тому же учёные дяди и тёти пытаются сделать более умный компьютер, который сможет понимать целых три числа - ноль, один и два - и может быть успеют, пока Вы вырастите, хотя бы знать о том что так считать тоже можно Вы тоже должны. Четырёх- восьми- и шестнадцати-циферные системы записи чисел удобны для укороченной записи ноликов и единичек современного компьютера, а например девяти-циферная система укороченно записывает трёх-циферную. На пальцах мы привыкли считать до 10-ти, а в часах мы используем 12 часов для дня и столько же для ночи...

В общем, человечество использует в разных сферах применения разные системы записи циферок. Называют их - системы счисления. Я решил Вам показать не только те, которые люди наверняка используют (все их, честно говоря, я и сам не знаю), а только первые 15 из всех существующих "позиционных" - чтобы было понятнее, как принято их формировать, как в них получаются маленькие и большие числа. В дальнейшем мы будем использовать всего 4 из них, и ещё 2 добавим позже - когда разберёмся с этими четырьмя. Но прямо сейчас давайте разберёмся, как записываются одни и те же яблоки в разных системах счисления.

Итак, у нас на тарелке лежит 5 яблок. Однако в двоичной системе счисления написано 101 (читается как один-ноль-один, а не сто-один), в троичной системе счисления - 12 (читается как один-два, а не двенадцать), в четверичной системе счисления это 11 (читается как один-один, а не одиннадцать), а в пятиричной это 10 (читаем как один-ноль, а не как десять) и только с шестеричной системы счисления и выше это знакомая нам пятёрка. В чём фокус?

Секрет прост.

Для начала посчитаем в привычной нам десятичной системе счисления, начиная с нуля: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - всего получается 10 цифр от нуля до девяти. Когда РАЗРЯД ЕДИНИЦ закончился, мы мысленно можем смело поставить перед разрядом единиц в столбик нули - 10 штук - и потом повторять разряд единиц от нуля до девяти а перед ними менять по десять только разряд десятков: 0, 1, 2, 3... до девяти. То есть, в крайний правый столбик мы ставим "по кругу" в столбик цифры от нуля до девяти, а в столбик перед ним ставим те же самые цифры, но по десять в столбик - разряд десятков. Так мы получаем в десятичной системе десять, одиннадцать, двенадцать... двадцать, тридцать... девяносто девять.

И когда цифры закончились - 99 - мы добавляем третью колонку из ста нулей, за ними сто единиц - и так до 999. Достаточно.

Основной принцип Вы поняли.

Давайте сделаем табличку с 15-ю системами счисления - так нам будет понятнее, как 5 яблок превращаются в 101. Используем две странички тетрадки (полный разворот). Первый столбик на левой страничке будет занимать 6 клеток, второй - 5 клеточек, третий и четвёртый по 4 клеточки, а оставшиеся одиннадцать столбиков по 3 клетки.

То, какая у нас система счисления, показывают десятичные маленькие циферки внизу справа от числа, например: 1012 один-ноль-один в двоичной системе счисления, а 510 - это пять в десятичной системе счисления. Подпишем колонки таблички следующим образом: первый столбик - X2, второй - X3, третий - X4 и так далее до X16. X2, X8, X10 и X16 имеют, кроме того, собственные латинские имена - binari, оctal, decimal, hexadecimal. Запишем в соответствующих столбиках их сокращённые названия (по три буквы) и получим такую "шапочку" у нашей таблички:

X2 X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X13X14X15X16
bin oct dec hex

Теперь можно начинать её заполнять.

X2
bin
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
10001
10010
10011
10100
10101
10110
10111

В двоичной системе цифр две - ноль и один. Поставьте на листочке в клетку (через одну клетку, чтобы потом не запутаться) ноль и один в столбик до конца листа.

Первые (правые) ноль и один - это разряд единиц. В клеточках перед самыми верхними 0 и 1 поставьте точки - это символы вымышленных нулей - ровно две точки в столбик. Через клетку ниже в столбик ставьте две единицы и два нуля последовательно. Потом добавьте в столбик от первого нуля до двух единиц ЧЕТЫРЕ точки. За ними через клеточку четыре единицы, четыре нуля, четыре единицы, четыре нуля... и так далее до самого низа третьего столбика.

Теперь в четвёртых справа налево клеточках от первого нуля поставьте восемь точек в столбик через клетку - за ними восемь единиц и восемь нулей в столбик через клетку (до конца листа по 8 повторяйте).

На самом деле Вы прибавляете по 1 яблоку к общему количеству так же, как и в десятичной - привычной Вам - системе.

Пятый (справа налево) столбик будет содержать 16 точек, затем 16 единиц и 16 нулей... Сколько из всего этого богатства поместится у Вас на лист.

Так Вы заполнили столбик двоичной системы счисления.

У Вас столбик получится покороче, не пугайтесь, главное чтобы получилось хотя бы до чисел 10000-10001. Главное в этой ситуации понять принцип, а не вызубрить все двоичные числа.

Троичную систему счисления заполняем очень похоже - только в крайнем правом столбике (следите чтобы ноль быль строго напротив нуля, единица напротив единицы, а двойка - напротив один-ноль двоичной системы счисления) будут цифры от нуля до двух, вторая (справа налево) клетка заполнится тремя точками, после в столбик тремя единицами и тремя двойками.

Затем от первого нуля (справа налево в столбик) поставите 9 точек, девять единиц и 9 нулей... по-кругу.

Если Вы поняли технологию, то сможете заполнить четверичную и прочие до десятичной системы счисления. Уверен, что это не сложно, зато очень полезно.

В итоге у Вас получится табличка, подобная нижеприведённой:

X2X3X4X5X6X7X8X9X10
bin oct dec
000000000
111111111
1022222222
11103333333
1001110444444
10112111055555
110201211106666
1112113121110777
100022201312111088
10011002114131211109
101010122201413121110
101110223211514131211
110011030222015141312
110111131232116151413
111011232242220161514
111112033302321171615
10000121100312422201716
10001122101322523211817
10010200102333024222018
10011201103343125232119
10100202110403226242220
10101210111413330252321
10110211112423431262422
10111212113433532272523
11000220120444033302624
110012211211004134312725
110102221221014235322826
1101110001231024336333027
bin oct dec
X2X3X4X5X6X7X8X9X10

Если не совсем понятно как заполняем столбики - двоичную и троичную просто перепешите в столбик из таблицы, а дальше попробуем понять. В четверичной системе счисления существует четыре цифры - ноль, один, два и три. Поставим их в столбик (напротив нолей, единиц и так далее по строкам). Затем повторим их в столбик - до конца листа. Перед первыми ноль-один-два-три ставим точки (они заменяют нули, ведь сколько нулей мы не поставим перед цифрой - ноль остаётся нулём, реальное количество яблок не изменится), а ниже точек ставим такое же количество единиц в столбик - точек было четыре, значит и единиц ставим четыре. Ещё ниже ставим 4 двойки, а под ними 4 тройки. После числа 33 (три-три) цифры четверичной системы счисления закончились, ставим в столбик перед точка-ноль, точка-один и так далее до три-три шестнадцать точек, а под ними в столбик 16 единиц, двоек и троек... Теперь, надеюсь, понятно? Любая система счисления имеет в своём составе цифры от нуля ДО на единицу меньше самой системы счисления. В привычной нам десятичной системе счисления это цифры от нуля до девяти. Заполните всю таблицу до десятичной системы счисления и сравните с моей - таблицы (особенно по строкам) должны совпасть полностью.

Хорошо, добрались мы до 11-тиричной системы счисления.

Знакомые нам цифры - от нуля до девяти - закончились. Для продолжения их надо чем-то заменить. Точнее - добавить новые цифры.

Лично мне очень не нравится то решение, которое приняли во всём мире - от цифры 10 и выше стали подставлять буквы латинского алфавита. Но это стало повсеместно принятым стандартом, и его нам надо освоить. Итак, десять в одиннадцатиричной стало "А", а одиннадцать в ней-же - 10 (один-ноль). В двенадцатиричной системе счисления 10 (десять) - это "А", 11 (одиннадцать) - это "В", а 12 это "10" (один-ноль). Далее в столбик заполняем по старым правилам - в одиннадцатиричной системе счисления в столбик ставим 11 точек, затем единиц, двоек... и так до одинадцати "А". В двенадцатиричной ставим в столбик 12 точек, ниже единицы и так до 12-ти "В". Если продолжить добавлять буквы латинского алфавита до шестнадцатиричной системы счисления (A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)), то у вас получится табличка как у меня ниже:

X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X13X14X15X16
bin oct dec hex
000000000000000
111111111111111
1022222222222222
11103333333333333
1001110444444444444
10112111055555555555
110201211106666666666
1112113121110777777777
100022201312111088888888
10011002114131211109999999
101010122201413121110AAAAAA
10111022321151413121110BBBBB
1100110302220151413121110CCCC
110111131232116151413121110DDD
11101123224222016151413121110EE
1111120333023211716151413121110F
10000121100312422201716151413121110
10001122101322523211817161514131211
10010200102333024222018171615141312
10011201103343125232119181716151413
10100202110403226242220191817161514
101012101114133302523211A1918171615
10110211112423431262422201A19181716
10111212113433532272523211B1A191817
1100022012044403330262422201B1A1918
11001221121100413431272523211C1B1A19
1101022212210142353228262422201C1B1A
11011100012310243363330272523211D1C1B
bin oct dec hex
X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X13X14X15X16

Надеюсь, теперь все всё поняли. Значки, изображающие числа, не имеют значения - как мы договоримся писать 5 яблок, так и будем писать. А количество яблок не изменится от этого. Главное для нас - знать, КАК пишутся яблоки: в двоичной системе счисления пять яблок запишутся как 101, в троичной - 12, в четверичной - 11, в пятеричной - 10, в шестеричной и всех выше - 5.

На главную.

comments powered by HyperComments

На главную.